2024年北方工業(yè)大學非全日制研究生招生考試《數(shù)學分析》考試大綱
一、考試性質與范圍
數(shù)學分析是高等學校數(shù)學類專業(yè)的基礎課程，由分析基礎、一元微分學和積分學、級數(shù)、多元微分學和積分學等部分組成。考試范圍包括極限、一元和多元函數(shù)的微積分、級數(shù)、實數(shù)完備性理論等。
二、考試基本要求
要求考生比較系統(tǒng)地理解和掌握數(shù)學分析的基本概念和基礎理論，要求考生具有一定的抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力， 熟悉各種計算和證明方法，能綜合運用所學知識分析和解決問題。
三、考試形式與分值
1. 閉卷，筆試;
2. 滿分為 150 分，考試時長為 3 小時;
3. 題型為填空題、計算題、證明題等。
四、考試內容
1.分析基礎
(1) 實數(shù)集與函數(shù)：實數(shù)的概念和性質，確界的概念、確界原理，函數(shù)的定義、函數(shù)的表示法;
(2) 數(shù)列極限：數(shù)列極限定義、性質和計算，數(shù)列極限存在的條件;
(3) 函數(shù)極限：函數(shù)極限的概念和性質，函數(shù)極限存在條件，兩個重要極限，無窮小量與無窮大量;
(4) 函數(shù)連續(xù)性：函數(shù)連續(xù)的定義，連續(xù)函數(shù)的性質，一致連續(xù)性;
(5) 實數(shù)完備性基本定理的證明和應用。
2.一元函數(shù)微分理論
(1) 導數(shù)與微分：導數(shù)的概念，導數(shù)的幾何意義，求導法則，微分的定義、微分的運算法則，高階導數(shù)與高階微分;
(2) 微分學基本定理：中值定理，泰勒公式;
(3) 應用導數(shù)研究函數(shù)的單調性與極值、凹凸性與拐點。
3.一元函數(shù)積分理論
(1) 不定積分：不定積分的概念，換元積分法和分部積分法;
(2) 定積分：定積分的概念，函數(shù)的可積性條件，微積分基本定理，定積分的幾何應用和物理應用;
(3) 反常積分：無窮積分收斂和發(fā)散的概念，瑕積分收斂和發(fā)散的概念，反常積分收斂判別法。
4.級數(shù)理論
(1) 數(shù)項級數(shù)：級數(shù)的斂散性，正項級數(shù)收斂判別法，一般項級數(shù)收斂判別法;
(2) 函數(shù)項級數(shù)：一致收斂的概念，一致收斂判別法，一致收斂的函數(shù)列與函數(shù)項級數(shù)的性質;
(3) 冪級數(shù)：收斂半徑與收斂區(qū)間，函數(shù)的冪級數(shù)展開;
(4) 函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開。
5.多元函數(shù)微分理論
(1) 多元函數(shù)極限和連續(xù)：平面點集的概念，多元函數(shù)極限和連
續(xù)性概念，二重極限和累次極限的關系;
(2) 多元函數(shù)微分學：全微分的概念，偏導數(shù)的概念，連續(xù)性與可微性、偏導數(shù)與可微性，多元函數(shù)微分法及求導公式，方向導數(shù)與梯度，多元函數(shù)的極值;
(3) 隱函數(shù)定理及應用：隱函數(shù)的概念，隱函數(shù)微分法，隱函數(shù)存在定理的幾何應用，多元函數(shù)的條件極值。
6.多元函數(shù)積分理論
(1) 含參量積分：含參量正常積分的概念，含參量反常積分的一致收斂性及判別法，含參量反常積分的性質;
(2) 第一型和第二型曲線積分的概念與計算，二重積分和三重積分的概念與計算，第一型和第二型曲面積分的概念與計算，格林公式及應用，曲線積分與路徑的無關性，高斯公式及應用，重積分的應用。
五、參考書目
1. 華東師范大學數(shù)學科學學院編，《數(shù)學分析》(上、下冊)，高等教育出版社，2019 年，第五版;
2. 裴禮文編，《數(shù)學分析中的典型問題與方法》，高等教育出版社，2021 年，第三版。
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